选自Quanta Magazine

作家：Leila Sloman

编译：杜伟、陈陈

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Späthen 的德国揣度生初次战争到了麦凯猜思（McKay conjecture），这是数学群论中最大的未解难题之一。

算作群论的一个知名猜思，麦凯猜思由数学家约翰・麦凯（John McKay）于 1972 年冷落，主要波及有限群的线路论，非常是对于群的不成约特征方针性质。

最开动， Britta Späthen 的贪图并莫得那么大。她但愿证明一两个定理，逐步推动这一猜思的措置，就像她之前许多其他数学家所作念的那样。但多年来，她一次又一次地被麦凯猜思眩惑。

像这么一心一意地追求如斯费事的问题可能会伤害她的学术糊口，但 Britta Späthen 照旧把统共的时刻齐插足其中。之后，她刚毅了巴黎 Jussieu 数学揣度所的数学家 Marc Cabanes，后者受到她的启发，也开动对麦凯猜思沉迷。在整个责任本领，两东谈主坠入爱河，并最终组建了家庭。

数学中充满了极其复杂的综合对象，不成能完全对它们进行揣度。不外，数学家发现，时常只需稽察此类对象的一小部分即可了解它们更平素的属性。因此，当数学家思设施略一个极其复杂的函数时，他们可能只需要稽察它的一小部分可能输入的行为，就足以证明该函数对统共可能的输入的作用。

麦凯猜思等于这么的典型例子，要是你思全面地边幅一个群（一个极其难以揣度的蹙迫数学实体），你只需要看其中的一小部分就行了。

图（左）为 Britta Späth，（右）为 Marc Cabanes

自 20 世纪 70 年代冷落这个猜思后，数十位数学家齐曾尝试进行证明。他们获得了部分进展，并在此进程中学到了好多对于群的常识（群是边幅数学系统中多样对称性的综合对象）。但是，竣工的证明似乎仍然牛年马月。

终于，在 Britta Späth 战争麦凯猜思 20 年后、在她际遇 Marc Cabanes 十多年后，这对配偶终于完成了证明。当他们两东谈主晓示着力时，共事们齐惊呆了。斯坦福大学的统计学与数学素质 Persi Diaconis 祈福谈，「经过多年的勤劳钻研，她作念到了，他们终于作念到了。」

他们在 2024 年 7 月发表了论文《The McKay Conjecture on character degrees》，著作篇幅有 68 页。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素数（primes）的力量

麦凯猜思始于对一个奇怪碰巧的不雅察。

在一又友的眼中，数学家约翰・麦凯是一位「才华横溢、话语呢喃软语、悠悠忘返」的东谈主，他以能在出东谈主料思的地点发现数值模式而知名。这位康考迪亚大学的数学家最知名的可能要属「怪物蟾光」猜思，该猜思在 1978 年冷落，波及怪物群（Monster group）和模局势（modular forms）之间的神秘连络。最终在 1992 年得到了证明，引起了数学界的平素关注。

在约翰・麦凯死一火几年前，他还发现了好多其他蹙迫的关联，其中好多齐波及到了群。群是一组元素以及这些元素互相关联的划定的结合，它不错被看作是对称性的汇集，即以特定神色保持一个局势、函数或其他数学对象不变的变换（transformation）。尽管群很综合，但它们非常有效，何况在数学中发达了中枢作用。

1972 年，约翰・麦凯专注于有限群，即元素数目有限的群。他不雅察到，在很厚情况下，你不错通过稽察一个有限群中的很少部分元素来推断该群的蹙迫信息。何况，约翰・麦凯非常揣度了在原始群里面酿成一个非常、较小群（被称为 Sylow 正则化子）（normalizer）的元素。

假定有一个包含 72 个元素的群，仅凭这极少不会告诉你太多信息：这么大小的群能有 50 个（每个齐不同）。但是，72 不错写成素数（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘积，即 2^3 × 3^2。时常来说，边幅群大小所需要的不同素数越多，群就越复杂。你不错在这些素数的基础上将群分解为更小的子群。

这里，你不错区分得到具有 8 个（2^3）元素和 9 个（3^2）元素的子群。通过揣度这些子群，你不错了解更多相关整个群结构的信息，比如群由哪些构建块构成。

当今，取其中一个子群，并添加一些特定元素，以创建一个非常的子群 ——Sylow 正则化子。在这个 72 元素群中，你不错为每个「8 元素」和「9 元素」的子群构建对应的不同的 Sylow 正则化子，它们区分成为 2-Sylow 正则化子和 3-Sylow 正则化子。

Sylow 正则化子以及它们所构建的子群，不错告诉数学家们好多对于原始群的信息。但是，约翰・麦凯假定这种连络比任何东谈主思象中的齐要宽敞，这就不再只是是通过 Sylow 正则化子瞻念察一个有限群举座结构了。他断言，要是数学家思要瞎想一个不错匡助他们边幅群的关节量，则只需稽察一组特定 Sylow 正则化子中的一个即可：Sylow 正则化子将由完全换取的数值来线路。

该量用来瞎想某类「线路」的数目，迪士尼彩乐园官网你不错使用被称为矩阵的数字数组来重写群的元素。这么的计数可能看起来很鄙俗，但它能让数学家了解群中的元素如何相互关联，何况波及到了其他蹙迫属性的瞎想。

此役，阿努诺比得到8分5篮板1抢断1盖帽，正负值为+13。

至于为什么约翰・麦凯的量对于有限群偏执 Sylow 正则化子来说应该老是换取的，似乎莫得充分的原理来证明。Sylow 正则化子可能只包含更大群中的一小部分元素。与此同期，Sylow 正则化子时常具有不同的结构。

这等于约翰・麦凯的料想，对于统共有限群齐是如斯。要是真的这么，那么数学家的生活就会变得裁汰多了：Sylow 正则化子比它们的母群更容易处理。这也示意着存在一个更深的数学真谛，一个数学家尚未掌捏的真谛。

在约翰・麦凯初次不雅察到这一碰巧的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的数学家证明了该碰巧适用于一大类群。但随后，数学家们堕入了窘境。他们大约证明该碰巧适用于某个或另一个特定的群，但还有无数个群需要证明。

因此，证明整个猜思似乎非常费事。事实证明，此问题要思获得蹙迫进展，需要数学家们措置史上最费事的数学难题之一。

麦凯猜思的一小步，群论的一大步

对有限群的统共构件进行分类，需要数千个证明，花 100 多年的时刻智商完成。但在 2004 年，数学家们终于见效地证明，统共的构建块齐必须属于三类中的一类，不然就属于 26 个特殊值。

恒久以来，数学家们一直以为，一朝完成对有限群的分类，这将有助于简化诸如麦凯猜思这么的问题。

但是，这需要有东谈主证明这种计策如实可行。

就在有限群分类考究完成的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了再行表述麦凯猜思的正确形状，只需专注于一组较小的群。

对于这个新聚齐集的每个群，他们齐必须展示一些比麦凯猜思冷落的更强的东西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 证明了，要是这个更强的述说对这些特定的群建筑，那么麦凯猜思对统共有限群齐势必建筑。

Gabriel Navarro 与两位共事将群论中一个要紧的盛开猜思飞动为一个可处理的问题。

问题的冲突口在于他们对问题的重构。而后几年，数学家们愚弄这一冲突措置了麦凯猜思的大部分情况。此外，这一形状还匡助他们简化了其他波及通过局部揣度举座的问题。丹佛大学的数学家 Mandi Schaeffer Fry 线路，这一形状已成为措置许多猜思的蹙迫蓝图。

但是，对于一类称为「李型群」的群，新版麦凯猜思已经一个盛开问题。这些群的线路非常难以揣度，要证明它们之间的关系满足 Isaacs、Navarro 和 Malle 冷落的条目非常具有挑战性。但 Malle 的又名揣度生 Britta Späth 正在揣度这一问题。

执着于一件事的 Britta Späth

2003 年，Britta Späth 来到卡塞尔大学，开动攻读博士学位。她险些是为揣度麦凯猜思而生的：以致在高中时，她就能破耗数天以致数周的时刻来钻研一个问题，她非常可爱那些检修她刚毅的问题。

Britta Späth 插足了多半时刻深入揣度群线路表面。揣度生毕业后，她决定愚弄我方在这方面的专科常识不时攻克麦凯猜思。「她有一种跋扈但又非常出色的直观，」她的一又友兼勾搭者 Schaeffer Fry 线路。

几年后的 2010 年，Britta Späth 赶赴巴黎西岱大学责任，恰是在何处她际遇了 Marc Cabanes。Britta Späth 频频去他的办公室讨教问题。

之后，Britta Späth 和 Marc Cabanes 整个开动入部下手证明每一个类别中的猜思，并在接下来的十年中证明了多项要紧着力。

经过深入揣度他们对李型群有了深切的剖释。在揣度进程中，他们开动走动，有了两个孩子，并最终在德国假寓。

到 2018 年，他们只剩下一种李型群尚未攻克。一朝完成这一类别的证明，他们就将证明麦凯猜思。

不时寻找下一个执念

「攻克第四种李型群费事重重，令东谈主不测的鬈曲也好多」，Britta Späth 说。但最终，她和 Marc Cabanes 逐步证明了这些群的线路数目与它们的 Sylow 正则化子的线路数目相匹配 —— 何况这些线路的匹配神色满足了必要的划定。终于，临了一个案例完成了。麦凯猜思的正确性也随之得以自动证明。

2023 年 10 月，在他们对我方的证明实现有了填塞的信心后，他们终于在一个有 100 多名数学家的房间里晓示了这一着力。一年后，他们将证明进程发布到网上，供整个数学界消化。曼彻斯特大学的 Radha Kessar 评价说：这是一个十足令东谈主咋舌简直立。

如今，数学家们不错通过单独揣度群的 Sylow 正规化子来揣度群的蹙迫性质。

在那之后，他们两东谈主不时前行，寻找他们的下一个执念。据 Britta Späth 暴露，到当前为止，还莫得任何问题像麦凯猜思那样深深地眩惑她。「当你完成了一件大事之后，再找到濒临下一件大事的勇气和存眷就变得很费事了，随机候这真的是一场战斗。但同期，它也赋予了你每一天的兴味。」

原文结合：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/